Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

Q: Cum înmulțesc radicalii?

Folosești regula produsului: √(a) · √(b) = √(ab), pentru a0 și b0. Dacă radicalii au coeficienți în față, îi înmulțești separat pe aceștia.

Q: Cum împart două expresii cu radicali?

Folosești regula câtului: √(a)/√(b) = √(a/b), pentru a0 și b>0. Când radicalul de la numitor nu se simplifică așa de curat, ai nevoie de raționalizare, subiect tratat separat.

Q: Ce înseamnă exponent negativ?

a⁻ⁿ = 1/aⁿ, pentru a0. Este o fracție, nu un număr negativ: 2⁻³ = 1/8, nu -8.

Q: Cât este a⁰?

a⁰ = 1, pentru orice număr real a, nenul. Exponentul 0 dă întotdeauna 1, indiferent cât de complicată este baza.

Q: De ce baza nu poate fi 0 la exponent negativ?

Pentru că a⁻ⁿ = 1/aⁿ, iar la a=0 numitorul devine 0. Împărțirea la 0 nu are sens, deci 0⁻ⁿ nu este definit pentru niciun n pozitiv.

Ce vei învăța

Aduni și scazi radicali asemenea și recunoști când doi radicali nu se pot combina.
Înmulțești și împarți expresii cu radicali, folosind regulile deja învățate.
Aplici corect ordinea operațiilor într-o expresie cu numere reale.
Calculezi $a^0$ și $a^{-n}$ pentru un număr real nenul $a$
Aplici regulile de calcul cu puteri (produs, cât, putere a unei puteri, putere a unui produs).
Recunoști restricția $a \ne 0$ la exponent negativ și deosebești $-a^2$ de $(-a)^2$

Recomandat înainte: Numere iraționale. Mulțimea numerelor reale

Ideea de bază

Cu numerele reale faci exact operațiile pe care le știi deja: adunare, scădere, înmulțire, împărțire. Diferența este că printre numere apar radicali, iar radicalii asemenea se adună sau se scad ca niște termeni obișnuiți.

$\sqrt{2} + 3\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ la fel cum $1 \cdot m + 3 \cdot m = 4 \cdot m$ Dar $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nu se mai poate scrie mai simplu, pentru că $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt radicali asemenea.

Puterile capătă și ele o extindere. Pentru orice număr real $a$ nenul, definești $a^0 = 1$ și $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ Așa poți scrie o putere pentru orice exponent întreg, nu doar pentru cele naturale.

a^0 = 1 \qquad a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad (a \ne 0)

Ce operații poți face cu numere reale

Un număr real poate fi întreg, rațional sau un radical deja simplificat, ca $\sqrt{3}$ sau $2\sqrt{5}$ Cu toate acestea faci adunare, scădere, înmulțire și împărțire, exact ca înainte.

Singura noutate este că, atunci când în expresie apar radicali, ai nevoie de regulile din lecțiile trecute: produsul și câtul radicalilor, scoaterea unui factor de sub radical. Aici le folosești, nu le repeți.

Simplifică întâi, dacă poți

Un radical ca $\sqrt{12}$ se scrie mai simplu $2\sqrt{3}$ prin scoaterea factorului $4$ de sub radical. Simplificarea făcută înainte de a aduna sau înmulți face calculul mult mai ușor.

Adunarea și scăderea numerelor reale

Doi radicali cu același număr sub radical se numesc radicali asemenea și se adună sau se scad ca niște termeni obișnuiți: aduni sau scazi coeficienții din față, iar radicalul rămâne neschimbat.

\sqrt{2} + 3\sqrt{2}

amândoi termenii au radicalul

\sqrt{2}

= (1+3)\sqrt{2}

= 4\sqrt{2}

5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}

radicali asemenea

= (5-2)\sqrt{3}

= 3\sqrt{3}

Când radicalii nu sunt asemenea, suma sau diferența rămâne așa cum este. Nu ai voie să aduni numerele de sub radicali.

$\sqrt{2} + \sqrt{3}$ nu se simplifică

$\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu au același număr sub radical, deci nu sunt radicali asemenea. $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ rămâne scris așa, nu devine $\sqrt{5}$

Uneori doi radicali par diferiți, dar devin asemenea după simplificare. $\sqrt{12}$ se scrie $2\sqrt{3}$ deci $\sqrt{12} + \sqrt{27}$ ascunde de fapt doi radicali asemenea.

\sqrt{12} + \sqrt{27}

numerele de sub radical nu sunt egale, dar se pot simplifica

= 2\sqrt{3} + 3\sqrt{3}

\sqrt{12}=2\sqrt3

și

\sqrt{27}=3\sqrt3

prin scoaterea factorilor de sub radical

= 5\sqrt{3}

Înmulțirea numerelor reale

La înmulțire folosești regula produsului radicalilor: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ pentru $a \ge 0$ și $b \ge 0$ Dacă radicalii au și coeficienți în față, îi înmulțești separat pe aceștia.

\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}

regula produsului

= \sqrt{2\cdot 8} = \sqrt{16}

= 4

2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3}

înmulțești coeficienții și, separat, radicalii

= (2\cdot 3)\cdot(\sqrt{3}\cdot\sqrt{3})

= 6 \cdot \sqrt{9} = 6\cdot 3

= 18

$\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = a$

Pentru $a \ge 0$ $\sqrt{a}\cdot\sqrt{a} = \sqrt{a^2} = a$ De aceea $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3} = 3$ și $\left(2\sqrt{5}\right)\cdot\sqrt{5} = 2\cdot 5 = 10$

Împărțirea numerelor reale

La împărțire folosești regula câtului radicalilor: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ pentru $a \ge 0$ și $b > 0$ Aici lucrezi doar cu numitori pe care îi poți gestiona direct, fără nicio amplificare.

\dfrac{6\sqrt{5}}{3}

numitorul este un număr întreg

= \dfrac{6}{3}\cdot\sqrt{5}

= 2\sqrt{5}

\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}

regula câtului

= \sqrt{\dfrac{18}{2}} = \sqrt{9}

= 3

Când numitorul rămâne irațional

În exemplele de mai sus, numitorul dispare complet sau este un întreg. Când o fracție are la numitor un radical care NU se simplifică așa, nu-l lași acolo, ci amplifici fracția, acest procedeu se numește raționalizarea numitorului și are lecție proprie.

Ordinea operațiilor

Regula rămâne cea știută din clasele trecute: mai întâi parantezele, apoi puterile și radicalii, apoi înmulțirile și împărțirile, în ordinea în care apar, și la final adunările și scăderile.

2 + \sqrt{9}\cdot(5-3)

întâi paranteza

= 2 + \sqrt{9}\cdot 2

apoi radicalul:

\sqrt{9}=3

= 2 + 3\cdot 2

apoi înmulțirea

= 2 + 6

= 8

Nu calcula mecanic de la stânga la dreapta

$2 + \sqrt{9}\cdot(5-3)$ nu se calculează $2+3=5$ apoi $5\cdot 2=10$ Înmulțirea are prioritate față de adunare, indiferent de ordinea în care sunt scrise pe hârtie.

Puteri cu exponent întreg

Din clasele trecute știi puterea cu exponent natural: $a^n$ este produsul a $n$ factori egali cu $a$ În clasa a VI-a ai văzut, pentru baze raționale, că exponentul poate fi și $0$ și un întreg negativ. Aceleași definiții rămân valabile pentru orice bază reală nenulă.

$a^n$ cu $n$ număr natural nenul: produsul a $n$ factori egali cu $a$ (recapitulare).
$a^0$ definit ca $1$ pentru orice $a \ne 0$
$a^{-n}$ cu $n$ număr natural nenul: definit ca $\dfrac{1}{a^n}$ pentru orice $a \ne 0$

Ideea din spate: puterile cu exponent din ce în ce mai mic se împart succesiv la bază. $2^3=8$ $2^2=4$ $2^1=2$ de fiecare dată împarți la $2$ Continuând, $2^0 = 1$ și $2^{-1} = \dfrac{1}{2}$ tot prin împărțire la $2$

2^3 = 8

2^2 = 4

8 : 2

2^1 = 2

4 : 2

2^0 = 1

2 : 2

2^{-1} = \dfrac{1}{2}

1 : 2

Exponentul 0

Pentru orice număr real $a$ nenul, $a^0 = 1$

a^0 = 1 \qquad (a \ne 0)

$5^0 = 1$
$(-3)^0 = 1$
$\left(\sqrt{2}\right)^0 = 1$

$a^0$ nu este $0$

$a^0 = 1$ nu $0$ oricât de complicat ar arăta $a$ Doar exponentul $0$ îți dă $1$ $0$ ca bază este cazul special de mai jos.

Exponentul negativ

Pentru orice număr real $a$ nenul, și orice număr natural nenul $n$ $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$

a^{-n} = \dfrac{1}{a^n} \qquad (a \ne 0)

2^{-3}

exponent negativ

= \dfrac{1}{2^3}

= \dfrac{1}{8}

(-3)^{-2}

baza este negativă, exponentul este negativ

= \dfrac{1}{(-3)^2}

= \dfrac{1}{9}

Exponentul negativ nu dă un rezultat negativ

$a^{-n}$ este o fracție, nu un număr negativ. $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ nu $-8$ și nu $-\dfrac{1}{8}$ Semnul minus stă la exponent, nu se mută la rezultat.

Semnul bazei contează separat de semnul exponentului. Ai grijă mai ales să deosebești $-2^2$ de $(-2)^2$

$-a^2$ nu este $(-a)^2$
Expresie	Ce se ridică la pătrat	Rezultat
$-2^2$	doar $2$ apoi se pune minus în față	$-4$
$(-2)^2$	$-2$ cu semn cu tot	$4$

Fără paranteză, minusul rămâne în afară

$-2^2 = -(2^2) = -4$ Doar când $-2$ este scris în paranteză, semnul intră la ridicarea la pătrat: $(-2)^2 = (-2)\cdot(-2) = 4$

De ce baza nu poate fi 0 la exponent negativ

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ este o fracție, iar o fracție nu poate avea numitorul $0$ Dacă $a = 0$ atunci $a^n = 0$ iar $\dfrac{1}{0}$ nu are sens.

$0^{-1}$ nu este definit

$0^{-1} = \dfrac{1}{0^1} = \dfrac{1}{0}$ iar împărțirea la $0$ nu are rezultat. Din același motiv, niciun exponent negativ nu are sens pentru baza $0$ $0^{-2}$ $0^{-3}$ și așa mai departe sunt la fel de nedefinite.

Reguli de calcul cu puteri

Regulile pentru puterile cu exponent natural rămân valabile și pentru exponenți întregi, cu grijă la baza nenulă atunci când apare un exponent negativ.

Reguli de calcul cu puteri (bază reală nenulă)
Regulă	Formulă	Exemplu
Produsul puterilor cu aceeași bază	$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$	$2^3\cdot 2^5 = 2^8 = 256$
Câtul puterilor cu aceeași bază	$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$	$\dfrac{2^5}{2^3} = 2^2 = 4$
Puterea unei puteri	$(a^m)^n = a^{mn}$	$(2^2)^3 = 2^6 = 64$
Puterea unui produs	$(ab)^n = a^n b^n$	$(2\cdot 3)^2 = 2^2\cdot 3^2 = 36$

Câtul puterilor cere bază nenulă

$\dfrac{a^m}{a^n} = a^{m-n}$ este valabilă pentru $a \ne 0$ numitorul $a^n$ nu poate fi $0$

Expresii cu radicali și puteri

O expresie de numere reale poate combina radicali și puteri în aceeași linie. Regulile nu se schimbă, doar trebuie aplicate în ordinea corectă, calculând întâi ce se poate calcula separat.

2^2 + \sqrt{16}

calculezi separat puterea și radicalul

= 4 + 4

= 8

3^{-1} + \dfrac{2}{3}

3^{-1} = \dfrac{1}{3}

= \dfrac{1}{3} + \dfrac{2}{3}

= 1

Exemple rezolvate

Exemplul 1: sumă de radicali asemenea

Calculează $5\sqrt{3} - 2\sqrt{3}$

Vezi rezolvarea

Radicalii sunt asemenea, amândoi au sub radical numărul $3$ Scazi coeficienții.

5\sqrt{3} - 2\sqrt{3} = (5-2)\sqrt{3} = 3\sqrt{3}

Exemplul 2: radicali care nu se combină

Simplifică, dacă se poate, $\sqrt{2} + \sqrt{3}$

Vezi rezolvarea

$\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ au sub radical numere diferite și niciunul nu se simplifică la celălalt. Nu sunt radicali asemenea.

Expresia rămâne $\sqrt{2} + \sqrt{3}$ Nu devine $\sqrt{5}$

Exemplul 3: înmulțirea a doi radicali

Calculează $\sqrt{2}\cdot\sqrt{8}$

Vezi rezolvarea

Aplici regula produsului: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b}=\sqrt{ab}$

\sqrt{2}\cdot\sqrt{8} = \sqrt{16} = 4

Exemplul 4: împărțirea a doi radicali

Calculează $\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}}$

Vezi rezolvarea

Aplici regula câtului: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}}=\sqrt{\dfrac{a}{b}}$

\dfrac{\sqrt{18}}{\sqrt{2}} = \sqrt{9} = 3

Exemplul 5: ordinea operațiilor

Calculează $2 + \sqrt{9}\cdot(5-3)$

Vezi rezolvarea

2 + \sqrt{9}\cdot(5-3)

întâi paranteza

= 2 + \sqrt{9}\cdot 2

apoi radicalul

= 2 + 3\cdot 2

apoi înmulțirea

= 8

Exemplul 6: exponent 0

Calculează $7^0$

Vezi rezolvarea

Baza $7$ este nenulă, deci $a^0=1$ se aplică direct.

7^0 = 1

Exemplul 7: exponent negativ

Calculează $2^{-3}$

Vezi rezolvarea

$2^{-3} = \dfrac{1}{2^3}$ iar $2^3=8$

2^{-3} = \dfrac{1}{8}

Exemplul 8: regula produsului puterilor

Scrie $2^3\cdot 2^5$ ca o singură putere și calculeaz-o.

Vezi rezolvarea

Bazele sunt egale, deci aduni exponenții: $a^m\cdot a^n = a^{m+n}$

2^3\cdot 2^5 = 2^{3+5} = 2^8 = 256

Exemplul 9: putere a unei puteri

Scrie $(2^2)^3$ ca o singură putere și calculeaz-o.

Vezi rezolvarea

Aplici $(a^m)^n = a^{mn}$ înmulțești exponenții.

(2^2)^3 = 2^{2\cdot 3} = 2^6 = 64

Exemplul 10: expresie mixtă cu radical și putere

Calculează $2^2 + \sqrt{16}$

Vezi rezolvarea

Calculezi separat puterea și radicalul, apoi aduni.

2^2 + \sqrt{16} = 4 + 4 = 8

Greșeli frecvente

Scriu $\sqrt{2} + \sqrt{3} = \sqrt{5}$
Radicalii se adună doar dacă au același număr sub radical. $\sqrt{2}$ și $\sqrt{3}$ nu sunt radicali asemenea, deci suma rămâne $\sqrt{2} + \sqrt{3}$
Trat $\sqrt{12}$ și $\sqrt{27}$ ca radicali diferiți, fără să-i simplific, și spun că nu se pot aduna.
Înainte de a decide dacă doi radicali sunt asemenea, îi simplifici. $\sqrt{12} = 2\sqrt{3}$ și $\sqrt{27} = 3\sqrt{3}$ sunt de fapt asemenea, iar suma este $5\sqrt{3}$
Calculez $2\sqrt{3}\cdot 3\sqrt{3} = 6\sqrt{3}$
Coeficienții se înmulțesc între ei $2\cdot 3=6$ dar și radicalii se înmulțesc între ei $\sqrt{3}\cdot\sqrt{3}=3$ Rezultatul este $6\cdot 3 = 18$ nu $6\sqrt{3}$
La $2+\sqrt{9}\cdot(5-3)$ calculez de la stânga la dreapta: $2+3=5$ apoi $5\cdot 2=10$
Înmulțirea are prioritate față de adunare, indiferent de ordinea din scriere. Calculezi paranteza, apoi radicalul, apoi înmulțirea, și abia la final aduni: $2+\sqrt9\cdot2 = 2+6 = 8$
Spun că $a^0 = 0$
$a^0 = 1$ pentru orice $a \ne 0$ Exponentul $0$ dă mereu $1$ niciodată $0$
Cred că $a^{-n}$ este un număr negativ, de exemplu $2^{-3} = -8$
$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ este o fracție, nu un număr negativ. $2^{-3} = \dfrac{1}{2^3} = \dfrac{1}{8}$
Calculez $0^{-1}$ și scriu $0$ sau $1$
$0^{-1} = \dfrac{1}{0}$ iar împărțirea la $0$ nu are sens. Exponentul negativ cere bază nenulă: $0^{-1}$ nu este definit.
Confund $-2^2$ cu $(-2)^2$ și le dau amândurora valoarea $4$
Fără paranteză, minusul rămâne în afara puterii: $-2^2 = -(2^2) = -4$ Cu paranteză, semnul intră la ridicarea la pătrat: $(-2)^2 = 4$

Exerciții

Ușor

Calculează $4\sqrt{5} - \sqrt{5}$
Arată răspunsul
Răspuns: $3\sqrt{5}$
Radicali asemenea: $(4-1)\sqrt{5} = 3\sqrt{5}$
Calculează $\sqrt{3}\cdot\sqrt{12}$
Arată răspunsul
Răspuns: $6$
$\sqrt{3}\cdot\sqrt{12} = \sqrt{36} = 6$
Calculează $\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}}$
Arată răspunsul
Răspuns: $2$
$\dfrac{\sqrt{20}}{\sqrt{5}} = \sqrt{4} = 2$
Calculează $5^0$
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
Baza $5$ este nenulă, deci $5^0=1$
Calculează $3^{-2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{9}$
$3^{-2} = \dfrac{1}{3^2} = \dfrac{1}{9}$

Mediu

Calculează $2\sqrt{8} + 3\sqrt{2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $7\sqrt{2}$
$2\sqrt{8} = 2\cdot 2\sqrt{2} = 4\sqrt{2}$ apoi $4\sqrt{2}+3\sqrt{2}=7\sqrt{2}$
Calculează $3 + 2\cdot\sqrt{16}$
Arată răspunsul
Răspuns: $11$
Întâi radicalul: $\sqrt{16}=4$ Apoi înmulțirea: $2\cdot4=8$ La final adunarea: $3+8=11$
Calculează $(-2)^{-3}$
Arată răspunsul
Răspuns: $-\dfrac{1}{8}$
$(-2)^{-3} = \dfrac{1}{(-2)^3} = \dfrac{1}{-8} = -\dfrac{1}{8}$
Scrie $2^3\cdot 2^{-1}$ ca o singură putere și calculeaz-o.
Arată răspunsul
Răspuns: $2^2 = 4$
$2^3\cdot 2^{-1} = 2^{3+(-1)} = 2^2 = 4$
Un elev scrie $5^0 = 0$ Este corect? Dacă nu, dă răspunsul bun.
Arată răspunsul
Răspuns: Greșit. $5^0 = 1$
Orice bază nenulă la exponent $0$ dă $1$ nu $0$

Provocare

Calculează $(2^2)^{-1} + \sqrt{9}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{13}{4}$
$(2^2)^{-1} = 4^{-1} = \dfrac{1}{4}$ iar $\sqrt{9}=3$ Suma este $\dfrac{1}{4}+3=\dfrac{13}{4}$
Pentru ce valoare a lui $a$ nu este definit $a^{-2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $a = 0$
$a^{-2} = \dfrac{1}{a^2}$ iar la $a=0$ numitorul devine $0$ ceea ce nu are sens.
Calculează $3\sqrt{2} - \sqrt{8} + 2^{-1}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\sqrt{2} + \dfrac{1}{2}$
$\sqrt{8}=2\sqrt{2}$ deci $3\sqrt{2}-2\sqrt{2}=\sqrt{2}$ Apoi $2^{-1}=\dfrac12$ iar rezultatul este $\sqrt{2}+\dfrac{1}{2}$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Cât este $\sqrt{3}\cdot\sqrt{27}$
1. $3\sqrt{3}$
2. $\sqrt{30}$
3. $81$
4. $9$
Arată răspunsul
Răspuns: $9$
$\sqrt{3}\cdot\sqrt{27} = \sqrt{81} = 9$
2. Cât este $5 + 2\cdot(7-4)$
1. $21$
2. $11$
3. $9$
4. $15$
Arată răspunsul
Răspuns: $11$
Întâi paranteza: $7-4=3$ Apoi înmulțirea: $2\cdot3=6$ La final: $5+6=11$
3. Pentru $a \ne 0$ cât este $a^0$
1. $0$
2. $a$
3. $1$
4. nu este definit
Arată răspunsul
Răspuns: $1$
$a^0 = 1$ pentru orice bază reală nenulă.
4. Care este forma simplificată a lui $a^3\cdot a^2$
1. $a^5$
2. $a^6$
3. $a^1$
4. $2a^5$
Arată răspunsul
Răspuns: $a^5$
$a^m\cdot a^n = a^{m+n}$ deci $a^3\cdot a^2 = a^5$
5. Cât este $4^{-2}$
Arată răspunsul
Răspuns: $\dfrac{1}{16}$
$4^{-2} = \dfrac{1}{4^2} = \dfrac{1}{16}$
6. Scrie $(a^2)^4$ ca o singură putere.
Arată răspunsul
Răspuns: $a^8$
$(a^m)^n = a^{mn}$ deci $(a^2)^4 = a^8$
7. De ce $0^{-1}$ nu este definit?
Arată răspunsul
Răspuns: Pentru că ar însemna $\dfrac{1}{0}$ iar împărțirea la $0$ nu are sens.
Exponentul negativ cere bază nenulă tocmai din acest motiv.

Întrebări frecvente

Pot aduna orice două radicale?

Nu. Doi radicali se adună sau se scad direct doar dacă au același număr sub radical (sunt radicali asemenea), ca $\sqrt{2}$ și $3\sqrt{2}$ Uneori numerele de sub radical diferă doar în aparență: $\sqrt{12}$ și $\sqrt{27}$ devin asemenea după simplificare $2\sqrt3$ și $3\sqrt3$

Cum înmulțesc radicalii?

Folosești regula produsului: $\sqrt{a}\cdot\sqrt{b} = \sqrt{ab}$ pentru $a\ge0$ și $b\ge0$ Dacă radicalii au coeficienți în față, îi înmulțești separat pe aceștia.

Cum împart două expresii cu radicali?

Folosești regula câtului: $\dfrac{\sqrt{a}}{\sqrt{b}} = \sqrt{\dfrac{a}{b}}$ pentru $a\ge0$ și $b>0$ Când radicalul de la numitor nu se simplifică așa de curat, ai nevoie de raționalizare, subiect tratat separat.

Ce înseamnă exponent negativ?

$a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ pentru $a\ne0$ Este o fracție, nu un număr negativ: $2^{-3} = \dfrac{1}{8}$ nu $-8$

Cât este

a^0

$a^0 = 1$ pentru orice număr real $a$ nenul. Exponentul $0$ dă întotdeauna $1$ indiferent cât de complicată este baza.

De ce baza nu poate fi 0 la exponent negativ?

Pentru că $a^{-n} = \dfrac{1}{a^n}$ iar la $a=0$ numitorul devine $0$ Împărțirea la $0$ nu are sens, deci $0^{-n}$ nu este definit pentru niciun $n$ pozitiv.

Operații cu numere reale. Puteri cu exponent întreg

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce operații poți face cu numere reale

Adunarea și scăderea numerelor reale

Înmulțirea numerelor reale

Împărțirea numerelor reale

Ordinea operațiilor

Puteri cu exponent întreg

Exponentul 0

Exponentul negativ

De ce baza nu poate fi 0 la exponent negativ

Reguli de calcul cu puteri

Expresii cu radicali și puteri

Exemple rezolvate

Exemplul 1: sumă de radicali asemenea

Exemplul 2: radicali care nu se combină

Exemplul 3: înmulțirea a doi radicali

Exemplul 4: împărțirea a doi radicali

Exemplul 5: ordinea operațiilor

Exemplul 6: exponent 0

Exemplul 7: exponent negativ

Exemplul 8: regula produsului puterilor

Exemplul 9: putere a unei puteri

Exemplul 10: expresie mixtă cu radical și putere

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VII-a

Algebră. Culegere de exerciții și probleme. Clasa a VII-a

Matematică. Algebră, geometrie. Clasa a VII-a, partea I. Mate 2000 - Consolidare

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 7-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VII-a, ediția a II-a revizuită și adăugită

Explorez, aplic, rezolv! Culegere de probleme, teste și resurse pentru portofoliu, clasa a VII-a, Partea I

Matematică. Clasa a VII-a. Partea I. Clubul Matematicienilor