Criteriile de congruență a triunghiurilor: LUL, ULU, LLL

Ce vei învăța

Știu ce înseamnă două triunghiuri congruente și recunosc triunghiuri congruente rotite sau desenate în oglindă.
Scriu corespondența vârfurilor și notația $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ cu literele în ordinea corectă.
Știu ce înseamnă LUL, ULU și LLL și ce date cere fiecare criteriu.
Aleg criteriul potrivit după marcajele de pe figură și recunosc un criteriu aplicat greșit.
Deduc o latură sau un unghi dintr-un triunghi congruent cu altul.

Recomandat înainte: Construcția triunghiurilor. Inegalități între elementele triunghiului

Ideea de bază

Două triunghiuri congruente au aceeași formă și aceeași mărime: laturile corespunzătoare sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. Nu contează unde sunt desenate, dacă unul este rotit sau desenat în oglindă.

Ca să arăți că două triunghiuri sunt congruente, nu trebuie să verifici toate cele șase perechi. Ajung trei date potrivite, după unul dintre cele trei criterii. Sunt aceleași date cu care ai construit un triunghi: cu ele iese mereu același triunghi.

Ce înseamnă triunghiuri congruente

Două figuri sunt congruente dacă se suprapun exact. Pentru triunghiuri, asta înseamnă că au aceeași formă și aceeași mărime. Mai precis, $\triangle ABC$ este congruent cu $\triangle DEF$ dacă laturile corespunzătoare sunt egale și unghiurile corespunzătoare sunt egale. Scriem $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ și citim „triunghiul $ABC$ este congruent cu triunghiul $DEF$

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

același număr de liniuțe = laturi egale, același număr de arce = unghiuri egale.

Marcajele de pe figură arată ce este egal: laturile cu același număr de liniuțe au aceeași lungime, unghiurile cu același număr de arce au aceeași măsură. Perechi diferite primesc marcaje diferite.

Poziția nu contează. Un triunghi poate fi mutat, rotit sau desenat în oglindă. Dacă după mutare (sau după ce întorci foaia) se suprapune peste celălalt, triunghiurile sunt congruente.

\triangle MNP

este „în oglindă”, dar se suprapune peste

\triangle ABC

dacă întorci foaia:

\triangle ABC \equiv \triangle MNP

Aceeași formă nu ajunge

Două triunghiuri cu unghiurile corespunzătoare egale pot avea mărimi diferite. Ele nu sunt congruente: triunghiurile congruente trebuie să aibă și aceeași mărime.

Unghiurile corespunzătoare sunt egale, dar

DEF

este mai mic. Aceeași formă nu ajunge: triunghiurile nu sunt congruente.

Corespondența vârfurilor și notația

Notația $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ spune și care vârfuri își corespund: primul cu primul, al doilea cu al doilea, al treilea cu al treilea.

Din $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ trei perechi de vârfuri, trei de laturi, trei de unghiuri.
Vârfuri	Laturi	Unghiuri
$A \leftrightarrow D$	$AB = DE$	$\angle A = \angle D$
$B \leftrightarrow E$	$BC = EF$	$\angle B = \angle E$
$C \leftrightarrow F$	$AC = DF$	$\angle C = \angle F$

Latura dintre două vârfuri corespunde laturii dintre vârfurile lor pereche: $AB$ are capetele $A$ și $B$ deci îi corespunde latura cu capetele $D$ și $E$ adică $DE$ Unghiul dintr-un vârf corespunde unghiului din vârful pereche.

Când al doilea triunghi este întors, găsești perechile din marcaje, nu din poziție. Unghiul cu un arc din $\triangle ABC$ este $\angle A$ iar în celălalt triunghi unghiul cu un arc este $\angle Q$ deci $A \leftrightarrow Q$

Perechile după marcaje:

A \leftrightarrow Q

B \leftrightarrow R

C \leftrightarrow P

Deci

\triangle ABC \equiv \triangle QRP

Ordinea literelor contează

Pentru figura de mai sus, $\triangle ABC \equiv \triangle QRP$ este corect. $\triangle ABC \equiv \triangle PQR$ ar spune $A \leftrightarrow P$ adică $\angle A = \angle P$ ceea ce este fals. Poți schimba ordinea, dar la fel în ambele triunghiuri: $\triangle BCA \equiv \triangle RPQ$ este tot corect.

În unele cărți, egalitatea laturilor se scrie $[AB] \equiv [DE]$ iar a unghiurilor $\angle A \equiv \angle D$ Înseamnă același lucru ca $AB = DE$ și $\angle A = \angle D$

Criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură)

LUL = Latură – Unghi – Latură. Datele sunt două laturi și unghiul cuprins între ele.

Unghiul cuprins între două laturi este unghiul cu vârful în capătul lor comun. Laturile $AB$ și $AC$ pornesc amândouă din $A$ deci unghiul cuprins între ele este $\angle A$ (adică $\angle BAC$ Unghiurile $\angle B$ și $\angle C$ nu sunt cuprinse între $AB$ și $AC$

\angle A

este cuprins între

AB

și

AC

vârful lui,

A

este capătul comun al celor două laturi.

Criteriul LUL

Dacă două laturi și unghiul cuprins între ele dintr-un triunghi sunt egale cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente. De exemplu: $AB = DE$ $AC = DF$ și $\angle A = \angle D$ implică $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

AB = DE

AC = DF

și unghiul cuprins

\angle A = \angle D

Criteriul LUL:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

Verifici două lucruri: perechile de laturi sunt egale, iar unghiul egal este chiar cel dintre laturile date, în ambele triunghiuri $\angle A$ între $AB$ și $AC$ $\angle D$ între $DE$ și $DF$

Contraexemplu: unghiul nu este cuprins

Mai jos, $AB = DE$ $AC = DF$ și $\angle B = \angle E$ Sunt tot două laturi și un unghi, dar $\angle B$ nu este între $AB$ și $AC$ Aceasta NU este aplicarea criteriului LUL, iar triunghiurile chiar nu sunt congruente.

AB = DE

AC = DF

\angle B = \angle E

dar

\angle B

nu este cuprins între

AB

și

AC

Triunghiurile nu sunt congruente:

BC \neq EF

Criteriul ULU (Unghi – Latură – Unghi)

ULU = Unghi – Latură – Unghi. Datele sunt o latură și cele două unghiuri alăturate ei.

Unghiurile alăturate unei laturi sunt unghiurile din capetele ei. Pentru latura $BC$ acestea sunt $\angle B$ (la un capăt) și $\angle C$ (la celălalt capăt). Latura stă între cele două unghiuri, ca litera L între cele două litere U.

Unghiurile alăturate laturii

BC

sunt

\angle B

și

\angle C

în capetele laturii.

Criteriul ULU

Dacă o latură și cele două unghiuri alăturate ei dintr-un triunghi sunt egale cu elementele corespunzătoare din alt triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente. De exemplu: $BC = EF$ $\angle B = \angle E$ și $\angle C = \angle F$ implică $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

BC = EF

\angle B = \angle E

\angle C = \angle F

latura și unghiurile din capetele ei. Criteriul ULU:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

Dacă ai o latură și două unghiuri, dar unul dintre unghiuri nu este în capătul laturii, afli întâi al treilea unghi din suma de $180°$ Unghiurile egale dau un al treilea unghi egal, iar apoi aplici ULU cu unghiurile din capetele laturii.

Latura

AB

nu este între

\angle A

și

\angle C

Întâi afli

\angle B = \angle E

apoi aplici ULU cu

AB

\angle A

\angle B

Criteriul LLL (Latură – Latură – Latură)

LLL = Latură – Latură – Latură. Datele sunt cele trei laturi.

Criteriul LLL

Dacă cele trei laturi ale unui triunghi sunt egale cu cele trei laturi corespunzătoare ale altui triunghi, atunci triunghiurile sunt congruente. De exemplu: $AB = DE$ $BC = EF$ și $CA = FD$ implică $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

AB = DE

BC = EF

CA = FD

trei marcaje diferite pentru trei perechi. Criteriul LLL:

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

Pe figură, fiecare pereche are marcajul ei: o liniuță, două, trei. Același marcaj înseamnă aceeași pereche. Din marcaje găsești și corespondența vârfurilor: $B$ este capătul comun al laturilor cu una și două liniuțe, iar în celălalt triunghi acesta este $E$

Cele trei criterii, comparate

Criteriu	Denumire completă	Date necesare
LUL	Latură – Unghi – Latură	2 laturi + unghiul cuprins între ele
ULU	Unghi – Latură – Unghi	1 latură + cele 2 unghiuri de la capetele ei
LLL	Latură – Latură – Latură	cele 3 laturi

Ordinea literelor arată și poziția: la LUL unghiul este între cele două laturi, la ULU latura este între cele două unghiuri.

Cum alegi criteriul

Scrie în cuvinte ce este marcat egal: câte laturi și câte unghiuri.
2 laturi + unghiul dintre ele → LUL.
1 latură + unghiurile de la capetele ei → ULU.
3 laturi → LLL.
Verifică poziția: la LUL unghiul are vârful în capătul comun al laturilor, la ULU unghiurile sunt în capetele laturii.
Scrie congruența cu vârfurile în ordinea corespondenței.

Mai multe date decât trebuie

Dacă pe figură sunt marcate mai multe elemente, alegi trei care formează un criteriu. De exemplu, trei laturi și un unghi: ajung cele trei laturi (LLL).

Ce afli după ce știi că triunghiurile sunt congruente

Când știi că $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ toate elementele corespunzătoare sunt egale, nu doar cele date. Dacă $BC = 7\text{ cm}$ atunci $EF = 7\text{ cm}$ Dacă $\angle A = 48°$ atunci $\angle D = 48°$

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

EF

corespunde lui

BC

iar

\angle D

lui

\angle A

Aceasta este puterea criteriilor: pornești de la trei elemente egale și afli toate celelalte trei. În lecția despre metoda triunghiurilor congruente vei folosi asta ca să demonstrezi că două segmente sau două unghiuri sunt egale.

Recapitulare: prescurtările

LUL = Latură – Unghi – Latură: două laturi și unghiul cuprins între ele.
ULU = Unghi – Latură – Unghi: o latură și cele două unghiuri alăturate ei (din capetele laturii).
LLL = Latură – Latură – Latură: cele trei laturi.
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow E$ $C \leftrightarrow F$

Exemple rezolvate

Perechile dintr-o notație

Se știe că $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ Scrie perechile de vârfuri, laturi și unghiuri corespunzătoare.

Vezi rezolvarea

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

același număr de liniuțe = laturi egale, același număr de arce = unghiuri egale.

Vârfurile, pe poziții: $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow E$ $C \leftrightarrow F$

Laturile: $AB = DE$ $BC = EF$ $AC = DF$ Unghiurile: $\angle A = \angle D$ $\angle B = \angle E$ $\angle C = \angle F$

Corespondența din marcaje

În figură, al doilea triunghi este întors. Folosește marcajele ca să scrii congruența.

Vezi rezolvarea

Unghiul cu un arc: $\angle A$ și $\angle Q$ deci $A \leftrightarrow Q$ Două arce: $B \leftrightarrow R$ Trei arce: $C \leftrightarrow P$

Scriem vârfurile în această ordine: $\triangle ABC \equiv \triangle QRP$ Verificare: $AB$ (o liniuță) corespunde lui $QR$ (o liniuță).

Notație corectă sau greșită?

Pentru triunghiurile din figură, Ioana scrie $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ Este corect?

Vezi rezolvarea

Laturile cu o liniuță sunt $AB$ și $ED$ cele cu două $BC$ și $DF$ Capătul comun al lui $AB$ și $BC$ este $B$ iar al lui $ED$ și $DF$ este $D$ deci $B \leftrightarrow D$ nu $B \leftrightarrow E$

La fel, $A \leftrightarrow E$ și $C \leftrightarrow F$ Notația corectă este $\triangle ABC \equiv \triangle EDF$

LUL, pas cu pas

În figură, ce date sunt marcate? Ce criteriu se aplică?

Vezi rezolvarea

În cuvinte: două perechi de laturi egale, $AB = DE$ (o liniuță) și $AC = DF$ (două liniuțe), și o pereche de unghiuri egale, $\angle A = \angle D$

$\angle A$ are vârful în capătul comun al lui $AB$ și $AC$ deci este cuprins între ele; la fel $\angle D$ între $DE$ și $DF$ Criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

ULU, pas cu pas

În figură, al doilea triunghi este desenat în oglindă. Ce criteriu se aplică?

Vezi rezolvarea

În cuvinte: o pereche de laturi egale, $BC = EF$ și două perechi de unghiuri egale, $\angle B = \angle E$ și $\angle C = \angle F$

$\angle B$ și $\angle C$ sunt în capetele laturii $BC$ deci sunt alăturate ei. Criteriul ULU (Unghi – Latură – Unghi): $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ Desenul în oglindă nu schimbă nimic.

LLL, pas cu pas

În figură sunt marcate doar laturi. Ce criteriu se aplică și cum scrii congruența?

Vezi rezolvarea

Toate cele trei perechi de laturi sunt egale: $AB = DE$ $BC = EF$ $CA = FD$ Criteriul LLL (Latură – Latură – Latură).

Corespondența: $B$ este între laturile cu una și două liniuțe, la fel $E$ deci $B \leftrightarrow E$ la fel $A \leftrightarrow D$ $C \leftrightarrow F$ $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$

Alege criteriul, fără figură

Pentru fiecare set de date, spune criteriul: a) $AB = DE$ $BC = EF$ $AC = DF$ b) $AB = DE$ $\angle A = \angle D$ $\angle B = \angle E$ c) $AB = DE$ $BC = EF$ $\angle B = \angle E$

Vezi rezolvarea

a) Trei laturi: LLL (Latură – Latură – Latură).

b) Latura $AB$ și unghiurile din capetele ei, $\angle A$ și $\angle B$ ULU (Unghi – Latură – Unghi).

c) Laturile $AB$ și $BC$ și unghiul dintre ele, $\angle B$ LUL (Latură – Unghi – Latură).

Criteriu aplicat greșit

Radu vede două laturi și un unghi marcate și spune: „LUL, deci triunghiurile sunt congruente.” Are dreptate?

Vezi rezolvarea

Laturile marcate sunt $AB$ și $AC$ cu capătul comun $A$ Unghiul cuprins între ele ar fi $\angle A$ dar unghiul marcat este $\angle B$

Nu este LUL. Figura arată chiar că triunghiurile nu sunt congruente: unul are un unghi obtuz, celălalt nu.

Deducerea unei laturi

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ și $BC = 7\text{ cm}$ Află $EF$

Vezi rezolvarea

$B \leftrightarrow E$ și $C \leftrightarrow F$ deci latura $BC$ corespunde lui $EF$ Laturile corespunzătoare sunt egale: $EF = 7\text{ cm}$

Deducerea unui unghi

$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ $\angle A = 48°$ și $\angle B = 70°$ Află $\angle D$ și $\angle F$

Vezi rezolvarea

$A \leftrightarrow D$ deci $\angle D = \angle A = 48°$ $C \leftrightarrow F$ iar $\angle C = 180° - (48° + 70°) = 62°$ deci $\angle F = 62°$

Triunghi rotit, litere amestecate

În figură, al doilea triunghi este $MNP$ rotit. Ce criteriu se aplică și cum scrii congruența?

Vezi rezolvarea

Laturile egale: $AB$ cu $NP$ (o liniuță), $AC$ cu $NM$ (două liniuțe). Unghiurile egale: $\angle A$ cu $\angle N$ dintre laturile marcate. Criteriul LUL.

$A \leftrightarrow N$ $B$ este celălalt capăt al laturii cu o liniuță, deci $B \leftrightarrow P$ iar $C \leftrightarrow M$ $\triangle ABC \equiv \triangle NPM$

Triunghi în oglindă

Al doilea triunghi, $XYZ$ este desenat în oglindă și rotit. Ce criteriu se aplică?

Vezi rezolvarea

$AC = XZ$ (o liniuță), $\angle A = \angle X$ (un arc), $\angle C = \angle Z$ (două arce). Unghiurile sunt în capetele laturii $AC$ ULU (Unghi – Latură – Unghi).

$A \leftrightarrow X$ $C \leftrightarrow Z$ deci $B \leftrightarrow Y$ $\triangle ABC \equiv \triangle XYZ$

Latura nu este între unghiuri

Se dau $AB = DE$ $\angle A = \angle D$ și $\angle C = \angle F$ Se poate aplica direct ULU?

Vezi rezolvarea

Nu direct: unghiurile din capetele lui $AB$ sunt $\angle A$ și $\angle B$ nu $\angle C$

Dar $\angle B = 180° - \angle A - \angle C$ și $\angle E = 180° - \angle D - \angle F$ deci $\angle B = \angle E$ Acum ai $AB$ $\angle A$ $\angle B$ ULU.

Aceeași formă, altă mărime

Două triunghiuri au toate unghiurile corespunzătoare egale. Sunt congruente?

Vezi rezolvarea

Nu neapărat. Unghiurile egale dau aceeași formă, dar un triunghi poate fi mai mic. Niciun criteriu nu folosește doar unghiuri: fiecare cere cel puțin o latură.

Greșeli frecvente

„Două laturi și un unghi egale, deci LUL.”
La LUL (Latură – Unghi – Latură) unghiul trebuie să fie cuprins între cele două laturi, cu vârful în capătul lor comun. Cu un alt unghi, criteriul nu se aplică.
Scrierea $\triangle ABC \equiv \triangle DFE$ când $B \leftrightarrow E$
Vârfurile corespondente stau pe aceeași poziție: dacă $A \leftrightarrow D$ $B \leftrightarrow E$ $C \leftrightarrow F$ scrii $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$
Găsirea perechilor după poziția din desen („vârful de sus cu vârful de sus”).
Perechile se găsesc din marcaje sau din date. Un triunghi rotit sau în oglindă are vârfurile în alte poziții.
„Au aceeași formă, deci sunt congruente.”
Triunghiurile congruente au aceeași formă și aceeași mărime. Unghiurile egale nu ajung.
ULU aplicat cu o latură care nu este între cele două unghiuri.
La ULU (Unghi – Latură – Unghi) unghiurile sunt în capetele laturii. Altfel afli întâi al treilea unghi.
Același marcaj pe două perechi de laturi care nu sunt egale între ele.
Fiecare pereche are marcajul ei: o liniuță, două, trei. Același marcaj înseamnă aceeași lungime.
„Triunghiul în oglindă nu poate fi congruent.”
Dacă întorci foaia, triunghiul în oglindă se suprapune exact. Poziția și orientarea nu contează.

Exerciții

Ușor

Scrie în cuvinte ce înseamnă fiecare prescurtare: LUL, ULU, LLL.
Arată răspunsul
Răspuns: LUL = Latură – Unghi – Latură; ULU = Unghi – Latură – Unghi; LLL = Latură – Latură – Latură
$\triangle ABC \equiv \triangle MNP$ Scrie cele trei perechi de vârfuri.
Arată răspunsul
Răspuns: $A \leftrightarrow M$ $B \leftrightarrow N$ $C \leftrightarrow P$
$\triangle ABC \equiv \triangle MNP$ Ce latură corespunde lui $BC$ Ce unghi corespunde lui $\angle A$
Arată răspunsul
Răspuns: $NP$ $\angle M$
Triunghiurile $KLM$ și $RST$ din figură au marcaje. Ce laturi sunt egale după marcaje? Ce unghiuri sunt egale?
Arată răspunsul
Răspuns: $KL = ST$ $LM = TR$ $MK = RS$ $\angle K = \angle S$ $\angle L = \angle T$ $\angle M = \angle R$
Același număr de liniuțe: $KL$ și $ST$ (una), $LM$ și $TR$ (două), $MK$ și $RS$ (trei). Același număr de arce: $K$ și $S$ (unul), $L$ și $T$ (două), $M$ și $R$ (trei). Perechile se citesc din marcaje, nu din poziția în desen.
În $\triangle ABC$ ce unghi este cuprins între laturile $AB$ și $BC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle B$
Capătul comun al laturilor $AB$ și $BC$ este $B$
În $\triangle ABC$ care sunt unghiurile alăturate laturii $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle A$ și $\angle C$
Ce criteriu se aplică pentru triunghiurile $PQR$ și $XYZ$ din figură? Scrie congruența.
Arată răspunsul
Răspuns: LLL (Latură – Latură – Latură); $\triangle PQR \equiv \triangle YZX$
Sunt marcate trei perechi de laturi: $PQ = YZ$ $QR = ZX$ $RP = XY$ $Q$ este între laturile cu una și două liniuțe, la fel $Z$ deci $Q \leftrightarrow Z$ apoi $P \leftrightarrow Y$ $R \leftrightarrow X$
Ai $AB = DE$ $\angle A = \angle D$ $\angle B = \angle E$ Ce criteriu se aplică?
Arată răspunsul
Răspuns: ULU (Unghi – Latură – Unghi)

Mediu

Ce criteriu se aplică pe figură? Justifică în cuvinte.
Arată răspunsul
Răspuns: LUL (Latură – Unghi – Latură)
$AB = DE$ și $BC = EF$ sunt două laturi, iar $\angle B = \angle E$ este unghiul cuprins între ele (vârful $B$ este capătul lor comun).
Ambele triunghiuri din figură au un unghi obtuz. Ce criteriu se aplică și cum scrii congruența?
Arată răspunsul
Răspuns: ULU; $\triangle ABC \equiv \triangle ZXY$
$AB = ZX$ (o liniuță), $\angle A = \angle Z$ (un arc), $\angle B = \angle X$ (două arce): latura și unghiurile din capetele ei, deci ULU (Unghi – Latură – Unghi). $A \leftrightarrow Z$ $B \leftrightarrow X$ deci $C \leftrightarrow Y$
Al doilea triunghi din figură, $KLM$ este în oglindă și întors. Scrie congruența, cu vârfurile în ordinea corectă.
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle ABC \equiv \triangle MKL$
Un arc: $A \leftrightarrow M$ două arce: $B \leftrightarrow K$ trei arce: $C \leftrightarrow L$ Verificare: $AB$ (o liniuță) corespunde lui $MK$ (o liniuță).
$\triangle PQR \equiv \triangle XYZ$ $PQ = 5\text{ cm}$ $QR = 6\text{ cm}$ $PR = 4\text{ cm}$ Află $XY$ $YZ$ $XZ$
Arată răspunsul
Răspuns: $XY = 5\text{ cm}$ $YZ = 6\text{ cm}$ $XZ = 4\text{ cm}$
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ $\angle D = 35°$ $\angle E = 80°$ Află unghiurile triunghiului $ABC$
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle A = 35°$ $\angle B = 80°$ $\angle C = 65°$
$\angle F = 180° - (35° + 80°) = 65°$ iar unghiurile corespunzătoare sunt egale.
Completează ce lipsește ca să aplici LUL: $AB = DE$ $AC = DF$ și ... .
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle A = \angle D$
Unghiul cuprins între $AB$ și $AC$ este $\angle A$ corespondentul lui este $\angle D$
Completează ce lipsește ca să aplici ULU: $BC = EF$ $\angle B = \angle E$ și ... .
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle C = \angle F$
Explică în cuvinte, fără prescurtare, ce date cere criteriul ULU.
Arată răspunsul
Răspuns: O latură și cele două unghiuri din capetele ei, egale cu latura și unghiurile corespunzătoare din celălalt triunghi.
Ce criteriu se aplică pentru triunghiurile $EFG$ și $RST$ din figură și cum scrii congruența?
Arată răspunsul
Răspuns: LUL; $\triangle EFG \equiv \triangle TRS$
$EF = TR$ (o liniuță), $FG = RS$ (două liniuțe), iar $\angle F = \angle R$ este unghiul cuprins între ele: LUL (Latură – Unghi – Latură). $F \leftrightarrow R$ $E$ este celălalt capăt al laturii cu o liniuță, deci $E \leftrightarrow T$ iar $G \leftrightarrow S$

Provocare

Pe figură sunt marcate mai multe elemente decât trebuie. Ce criterii poți folosi?
Arată răspunsul
Răspuns: LLL (cele trei laturi) sau LUL $AB$ $BC$ și unghiul cuprins $\angle B$
Ajung trei elemente care formează un criteriu; celelalte sunt în plus.
Pe figură sunt marcate două perechi de laturi și o pereche de unghiuri. Ana spune că se aplică LUL. Are dreptate?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu. Unghiul marcat, $\angle M$ nu este cuprins între $KL$ și $LM$ unghiul cuprins ar fi $\angle L$
Laturile marcate $KL$ și $LM$ au capătul comun $L$ deci unghiul cuprins este $\angle L$ iar pe figură este marcat $\angle M$ Triunghiurile nici nu sunt congruente: $\angle R$ este obtuz, iar $\angle K$ este ascuțit.
În cele două triunghiuri din figură, ce vârf corespunde vârfului $B$ Dar vârfului $C$ Scrie congruența.
Arată răspunsul
Răspuns: $B \leftrightarrow F$ $C \leftrightarrow E$ $\triangle ABC \equiv \triangle DFE$
$B$ este capătul comun al laturilor cu una și două liniuțe; în al doilea triunghi acesta este $F$ $C$ este capătul comun al laturilor cu două și trei liniuțe: $E$ Rămâne $A \leftrightarrow D$
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ iar perimetrul lui $\triangle ABC$ este $18\text{ cm}$ Dacă $DE = 5\text{ cm}$ și $EF = 6\text{ cm}$ află $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $7\text{ cm}$
$AB = DE = 5$ $BC = EF = 6$ deci $AC = 18 - 5 - 6 = 7\text{ cm}$
Se dau $BC = EF$ $\angle A = \angle D$ și $\angle B = \angle E$ Poți arăta că triunghiurile sunt congruente? Ce unghi afli întâi?
Arată răspunsul
Răspuns: Da: afli întâi $\angle C = \angle F$ din suma unghiurilor, apoi ULU cu $BC$ $\angle B$ $\angle C$
Unghiurile din capetele lui $BC$ sunt $\angle B$ și $\angle C$ $\angle A$ nu este lângă $BC$ $\angle C = 180° - \angle A - \angle B$ și $\angle F = 180° - \angle D - \angle E$ deci $\angle C = \angle F$
Triunghiurile din figură au toate unghiurile corespunzătoare egale, iar $AB = 4\text{ cm}$ și $DE = 6\text{ cm}$ Mihai spune că sunt congruente. Ce răspunzi?
Arată răspunsul
Răspuns: Nu: au aceeași formă, dar $AB$ și $DE$ sunt laturi corespunzătoare și $AB \neq DE$
$A \leftrightarrow D$ și $B \leftrightarrow E$ (după arce), deci $AB$ corespunde lui $DE$ La triunghiuri congruente laturile corespunzătoare ar fi egale.
$\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ și $\triangle DEF \equiv \triangle MNP$ Ce latură din $\triangle MNP$ este egală cu $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $MP$
$A \leftrightarrow D \leftrightarrow M$ și $C \leftrightarrow F \leftrightarrow P$ deci $AC = DF = MP$

Mini-test

Rezolvă pe caiet, apoi vezi răspunsul. Nu se salvează niciun punctaj.

1. Ce înseamnă LUL?
1. Latură – Unghi – Latură
2. Latură – Unghi – Linie
3. Lungime – Unghi – Lungime
4. Latură – Unghi – Lungime
Arată răspunsul
Răspuns: Latură – Unghi – Latură
Două laturi și unghiul cuprins între ele.
2. Ce înseamnă ULU?
1. Unghi – Linie – Unghi
2. Unghi – Latură – Unghi
3. Unghi – Latură – Unghi drept
4. Unghi – Lungime – Unghi
Arată răspunsul
Răspuns: Unghi – Latură – Unghi
O latură și cele două unghiuri alăturate ei.
3. Ce înseamnă LLL?
1. Linie – Linie – Linie
2. Latură – Latură – Latură
3. Lungime – Latură – Linie
4. Latură – Linie – Latură
Arată răspunsul
Răspuns: Latură – Latură – Latură
Cele trei laturi.
4. $\triangle ABC \equiv \triangle KLM$ Ce latură corespunde lui $AC$
1. $KL$
2. $LM$
3. $KM$
4. $AC$
Arată răspunsul
Răspuns: $KM$
$A \leftrightarrow K$ și $C \leftrightarrow M$
5. Care notație este corectă pentru figură?
1. $\triangle DEF \equiv \triangle STU$
2. $\triangle DEF \equiv \triangle TSU$
3. $\triangle DEF \equiv \triangle UTS$
4. $\triangle DEF \equiv \triangle TUS$
Arată răspunsul
Răspuns: $\triangle DEF \equiv \triangle TSU$
Marcajele dau $D \leftrightarrow T$ $E \leftrightarrow S$ $F \leftrightarrow U$ deci $\triangle DEF \equiv \triangle TSU$
6. Ce criteriu se aplică pe figură?
1. LUL
2. ULU
3. LLL
4. niciunul
Arată răspunsul
Răspuns: LUL
$UV = KG$ $VW = GH$ și unghiul dintre ele, $\angle V = \angle G$ două laturi și unghiul cuprins.
7. Pe figură, $PQ = XY$ $QR = YZ$ $\angle R = \angle Z$ Se aplică LUL?
1. da
2. nu, unghiul marcat nu este cuprins între laturile date
3. da, dacă triunghiurile sunt rotite
4. nu, pentru că trebuie trei laturi
Arată răspunsul
Răspuns: nu, unghiul marcat nu este cuprins între laturile date
Unghiul cuprins între $PQ$ și $QR$ este $\angle Q$ nu $\angle R$ Pe figură se vede că triunghiurile au forme diferite.
8. În $\triangle ABC$ ce unghi este cuprins între $AC$ și $BC$
1. $\angle A$
2. $\angle B$
3. $\angle C$
4. niciunul
Arată răspunsul
Răspuns: $\angle C$
9. $\triangle ABC \equiv \triangle DEF$ și $\angle E = 64°$ Cât este $\angle B$
Arată răspunsul
Răspuns: $64°$
10. Un triunghi echilateral are latura de $3$ cm, altul are latura de $5$ cm. Ce este adevărat?
1. Sunt congruente, pentru că au unghiurile egale
2. Au unghiurile egale, dar nu sunt congruente
3. Nu au unghiurile egale
4. Sunt congruente prin ULU
Arată răspunsul
Răspuns: Au unghiurile egale, dar nu sunt congruente
Ambele au toate unghiurile de $60°$ dar laturile diferă. Unghiurile egale nu sunt suficiente pentru congruență.

Întrebări frecvente

Ce înseamnă că două triunghiuri sunt congruente?

Că se suprapun exact: au laturile corespunzătoare egale și unghiurile corespunzătoare egale. Pot fi desenate în poziții diferite, rotite sau în oglindă.

Ce înseamnă LUL, ULU și LLL?

LUL = Latură – Unghi – Latură (două laturi și unghiul cuprins între ele), ULU = Unghi – Latură – Unghi (o latură și cele două unghiuri alăturate ei), LLL = Latură – Latură – Latură (cele trei laturi).

Ce este unghiul cuprins între două laturi?

Unghiul cu vârful în capătul comun al celor două laturi. Pentru $AB$ și $AC$ unghiul cuprins este $\angle A$

De ce contează ordinea literelor în

\triangle ABC \equiv \triangle DEF

Pentru că arată care vârfuri își corespund: primul cu primul, al doilea cu al doilea, al treilea cu al treilea. Din ea citești ce laturi și ce unghiuri sunt egale.

Două laturi și un unghi oarecare egale ajung pentru congruență?

Nu. Unghiul trebuie să fie cel cuprins între cele două laturi (criteriul LUL). Cu un unghi necuprins, triunghiurile pot fi diferite.

Pot fi congruente două triunghiuri care au doar unghiurile egale?

Nu neapărat. Au aceeași formă, dar unul poate fi mai mare. Fiecare criteriu cere cel puțin o latură.

Ce vei învăța

Ideea de bază

Ce înseamnă triunghiuri congruente

Corespondența vârfurilor și notația

Criteriul LUL (Latură – Unghi – Latură)

Criteriul ULU (Unghi – Latură – Unghi)

Criteriul LLL (Latură – Latură – Latură)

Cele trei criterii, comparate

Cum alegi criteriul

Ce afli după ce știi că triunghiurile sunt congruente

Recapitulare: prescurtările

Exemple rezolvate

Perechile dintr-o notație

Corespondența din marcaje

Notație corectă sau greșită?

LUL, pas cu pas

ULU, pas cu pas

LLL, pas cu pas

Alege criteriul, fără figură

Criteriu aplicat greșit

Deducerea unei laturi

Deducerea unui unghi

Triunghi rotit, litere amestecate

Triunghi în oglindă

Latura nu este între unghiuri

Aceeași formă, altă mărime

Greșeli frecvente

Exerciții

Ușor

Mediu

Provocare

Mini-test

Întrebări frecvente

Resurse utile

Culegeri și auxiliare pentru clasa a VI-a

Geometria în gimnaziu. Explicații și rezolvări complete. Clasa a VI-a

Geometrie pentru toți. Clasa a VI-a

Geometrie. După noua programă de gimnaziu. Clasa a VI-a

Matematică pentru încredere și reușită. Partea a II-a. Clasa a VI-a

Culegere de probleme de matematică pentru clasa a 6-a

Matematica pas cu pas. Exerciții și probleme pentru clasa a VI-a